Kamatos kamat és a hozam
dr. Tóth András
Volt annak idején az egyetemen egy bölcs kollégám, aki azt mondta: “Ha valamit igazán jól meg akarsz érteni, akkor tanítsad!” És valóban, a tanítás nagy alázatra neveli az embert, ugyanis a kedves tanulók bizony rákérdeznek minden részletre, és jaj annak a tanárnak, aki nem érti igazán az anyagot.
A legutóbb is, amikor a Professzionális Pénzügyi Tanácsadó képzésünk keretében tanítottam, nekem szegezték a kérdést: “Rendben van, hogy a pénzügyek tervezésénél kamatos kamattal számolunk, de hát mi nem a bankba rakjuk az ügyfelek pénzét, hanem befektetési alapokba. Ott meg hozam van – akkor mi lesz?”
Sokat töprengtem, megírjam-e erre a kérdésre a választ mindenkinek, nem túl szakmai ez a kérdés? De aztán úgy döntöttem:
- Sokan évek óta olvasnak, csak sikerült már az alapokat beléjük csepegtetnem.
- Ez nagyon lényeges kérdés. Sok-sok ügyfelünknek befektetési alapokban van a pénzük, meg kell érteniük, hogy is működik ez.
- Ha meg végkép unalmas, legfeljebb kivételesen átugorják…
Kezdjünk bele! Ha kamatra rakjuk be a pénzünket, akkor minden évben megnöveli az évi kamat, és a következő évben már ezt az összeget növeljük tovább. Ezt hívják kamatos kamatnak, és ennek furmányos következményeiről régen írtam egy cikket, az igen szellemes “Kamatos kamat” címmel.
Nézzük meg például egy millió forintból mi lesz 20 év alatt 12% kamattal:
| 0 | 1 000 000 |
| 1 | 1 120 000 |
| 2 | 1 254 400 |
| 3 | 1 404 928 |
| 4 | 1 573 519 |
| 5 | 1 762 342 |
| 6 | 1 973 823 |
| 7 | 2 210 681 |
| 8 | 2 475 963 |
| 9 | 2 773 079 |
| 10 | 3 105 848 |
| 11 | 3 478 550 |
| 12 | 3 895 976 |
| 13 | 4 363 493 |
| 14 | 4 887 112 |
| 15 | 5 473 566 |
| 16 | 6 130 394 |
| 17 | 6 866 041 |
| 18 | 7 689 966 |
| 19 | 8 612 762 |
| 20 | 9 646 293 |
12% kamat  Ha a kép nem jelenne meg itt megtekinthető. |
Amint látható, a görbe lendületesen emelkedik és kis híján megtízszerezi magát (pontosan 20év és három hónap kell a tízszeres érték eléréséhez).
A gyakorlatban ezek a görbék nagyon “furcsák”, nagyon nehezen látható át, mennyire gyorsan is nő egy változó környezetben. Ezért a gyakorlatban az elért pénz logaritmusát szokták felrajzolni.
12% kamat logaritmikus skálán |
A logaritmus azt mondja meg, hogy a 10 melyik hatványa adja a számot. Nyilván az egymillió az 10 hatodik hatványa, a 10 millió pedig a hetedik. Így a kamatos kamat egy szép egyenest ad a logaritmikus skálán. Ez már összemérhető, hiszen a magasabb kamat egy meredekebb egyenest ad (rövidebb idő alatt tízszereződik a pénz) az alacsonyabb kamattal az egyenes is lanyhább emelkedőt fut be (hosszabb idő alatt tízszereződik a pénz).
A kamatos kamat sajátossága, hogy ha 20 év 3 hónap alatt megtízszereztük a pénzünket, akkor további 20 év 3 hónap alatt ismét megtízszerezzük a már elért pénzünket. Ezért ez az egyenes továbbra is folytatódik. E miatt használnak minden kamatos kamat jellegű piacon, részvényeknél, befektetési alapoknál is logaritmikus skálát, mert akkor az egyébként áttekinthetetlen papírt kibökő görbéket kellene használni.
Szinte tapintom az undorral vegyes csendet, ahogy olvassa. Mi is ez az egész? A versenyautók legkedveltebb paramétere, a gyorsulása és hogy mennyi idő alatt érik el álló helyzetből a 100 km/óra sebességet. Ezt persze a kiskamaszok mind tudják… A befektetéseknél a gyorsulás mértéke a kamat nagysága, a 100 km/óra sebesség eléréséhez szükséges idő, pedig hogy a mennyi idő alatt tízszerezzük meg a pénzünket.
Akkor térjünk rá az eredeti kérdésre: hogy van ez az egész a részvényeknél? Ott nincs kamat, hozam van, ami hol ekkora, hol akkora. Miért számolunk akkor is kamatos kamattal? A következő ábra az amerikai nagy cégek átlag tőzsdei indexét mutatja, 60 évre visszamenőleg, természetesen logaritmikus skálán:
 S&P500 Ha a kép nem jelenne meg itt megtekinthető. |
Amint látható, ez bizony nem egyenes, de jól látható, hogy hosszú távon meglehetősen jól illeszkedik egy egyeneshez. Néhol felette van (az átlag felettiek a hozamok) néhol alatta (átlag alatti hozamok) de szépen megy felfelé. Hogy tényleg mennyi idő alatt tízszereződik és milyen hozamok is várhatóak el tőle, azt a híres “Hitünk objektív alapjai” hangzatos című cikkemben megtalálják.
Egyébként nem állhatom, meg, hogy ne nézzek rá alaposan erre az ábrára. Mit látnak rajta? Vannak olyan szakaszok (sok), amikor az átlag egyenes felett van a görbe és vannak olyan szakaszok (kevés), és van, amikor az átlag egyenes alatt van görbe (ez viszont kevés helyen van.) Miért van ez az aránytalanság? Azért mert a görbe vége, a mai nap alulértékelt. Azaz most a részvénypiac alacsonyabban áll, mint ahol átlagosan lennie kellene. Ez még mindig a válság hatása.
